Sri
Wulan Windu Ratih
Tugas
ke-tiga dari mata kuliah matematika & IAD kali ini akan memfokuskan kajian
pada materi pemecahan masalah dalam himpunan dan fungsi. yang disusun menjadi
dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan
Belajar 1: Himpunan, dan Kegiatan
Belajar 2: Fungsi. Meskipun antara kegiatan belajar yang satu bukan
merupakan prasyarat untuk mempelajari kegiatan belajar lainnya, akan tetapi
satu sama lain memiliki keterkaitan yang erat.
HIMPUNAN
Himpunan dalam pengertian
matematika sering juga disebut kumpulan, atau kelompok. Himpunan dapat
dibayangkan sebagai suatu kumpulan benda-benda baik yang “jelas” maupun yang
“tidak jelas”. Kumpulan benda-benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang
anggota-anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan
benda-benda yang tidak jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya
tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Penulisan himpunan ada tiga cara untuk
menyatakan suatu himpunan, antara lain:
1.
dengan
mendaftar anggota himpunan;
2.
dengan
menjelaskan sifat anggota himpunan;
3.
dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Misalkan akan dinyatakan
himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.
1.
Dengan
mendaftar anggota himpunan, misalnya B = {Januari, Juni, Juli}
2.
Dengan
menjelaskan sifat anggota himpunan, misalnya Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang
diawali dengan huruf J.
3.
Dengan
menggunakan notasi pembentuk himpunan, misalnya B = {
nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf
J}. Kalimat ini dapat dibaca, B adalah himpunan dari semua 
dan adalah nama
bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.
Penggunaan pada notasi
penulisan himpunan dapat diganti dengan huruf kecil lainnya. Misalnya:
A
= {
nama bulan
dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}
atau,
A
= {
nama bulan
dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.
Himpunan yang tidak
mempunyai anggota tersebut dinamakan
sebagai himpunan kosong.
Ingat, suatu himpunan kosong
yang ditulis P = { }, berarti himpunan tersebut tidak memiliki anggota, atau
n(P) = 0. Akan tetapi suatu himpunan dengan anggotanya nol, misal Q = {0}, bukan merupakan himpunan kosong, karena jumlah
anggotanya adalah 1, ditulis n(Q) = 1.
Himpunan Semesta
Contoh :
H = {bebek, ayam, kucing,
sapi, macan}
Himpunan H terdiri dari
nama-nama hewan. Oleh karena itu, himpunan
semesta ini dapat dinyatakan sebagai himpunan
semua hewan yang ada di dunia.
Contoh :
K = {5, 7, 11}
Himpunan-himpunan yang dapat
memuat semua anggota K di antaranya adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli},
atau {bilangan prima}. Oleh karena itu, himpunan
semesta dari himpunan B adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, {bilangan
prima}.
Himpunan Bagian
Diketahui dua himpunan A =
{a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f, g}. Dari kedua himpunan tersebut dapat
dilihat bahwa semua anggota A merupakan anggota B juga. Ini berarti bahwa
himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dan
dapat ditulis A 
B.
Himpunan A merupakan
himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B dan
dapat ditulis A B. Atau dapat
juga dikatakan bahwa himpunan B memuat A yang dapat ditulis B 
A.
FUNGSI
Fungsi merupakan konsep matematika yang sangat penting
karena aplikasinya yang begitu luas, banyak digunakan baik dalam cabang-cabang
matematika, maupun di luar bidang matematika. Banyak konsep matematika yang
ditentukan atau didefinisikan dengan bantuan konsep fungsi.
Fungsi memiliki pengertian sebagai aturan untuk
menetapkan kaitan (pemasangan atau korespondensi) antara anggota himpunan A dan
B, sehingga setiap unsur A berpasangan dengan tepat satu unsur B. Dengan cara pandang ini, fungsi dapat kita
tunjukkan dengan menggunakan “input–proses–output”
atau dengan istilah yang sama, “masukan–aturan–keluaran.”
Himpunan pertama kita sebut himpunan input atau domain (daerah asal) dan himpunan kedua yang menjadi
tempat output disebut kodomain
(daerah kawan). Sedangkan himpunan output itu sendiri disebut himpunan bayangan
(range, daerah hasil).
Fungsi sebagai suatu aturan
yang memetakan/memasangkan suatu anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Selanjutnya,
kita tentukan fungsi sebagai pasangan terurut dengan sifat tertentu.
Mari kita mulai dengan korespondensi/hubungan/kaitan
antara anggota dua himpunan. Perhatikan Gambar 4.2.1(a), Gambar 4.2.1(b), dan Gambar
4.2.1(c). Ilustrasi tersebut menunjukkan
kaitan antara anggota himpunan A dan B.
A B A B A B
(a) (b) (c)
Gambar
4.2.1
Sering kita jumpai suatu
keadaan dalam kehidupan kita sehari-hari, korespondensi itu dapat berupa:
·
banyaknya
barang yang terjual dan keuntungan yang diperoleh,
·
prestasi
siswa dengan motivasi belajarnya,
·
besar
uang yang ditabung dan bunga yang didapat,
·
penduduk
dan nomor kartu penduduk, dan lain-lain.
Tes Formatif :
HIMPUNAN
Pilihlah
A, B, C, D, atau E yang menurut pendapat Anda paling tepat!
1. Manakah di antara
kelompok-kelompok di bawah ini yang merupakan himpunan?
A. Himpunan bilangan prima
antara 40 dan 60, yakni P = {41, 43, 47, 51, 53, 59}.
B. Himpunan semua wanita cantik
berambut panjang.
C. Himpunan lukisan indah.
D. Himpunan semua cacing
berkaki seribu.
E. Himpunan bilangan prima kurang dari 10, yaitu A = {1, 2, 3, 5, 7}
Penjelasan:
Dalam konteksnya himpunan akan
selalu terdapat kurung kurawal sesudah tanda “=” (jawaban B, C, dan D sudah
pasti salah). Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi dengan
angka 1 dan bilangan itu sendiri. Jawaban A kurang tepat, karena di akhiri dengan
tanda titik. Juga ada bilangan prima yang tidak dicantumkan yaitu angka 57,
seharusnya bilangan prima antara 40 dan 60 yakni P = {41, 43, 47, 51, 53, 57, 59} Maka jawaban yang paling tepat
adalah E.
2. Sungai terpanjang di dunia
bernama Mississippi Missouri. Jika huruf-huruf
M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I,M,I,S,S,O,U,R,I yang membentuk nama sungai tersebut kita
jadikan suatu himpunan, maka banyaknya anggota himpunan tersebut adalah...
A.
2
buah anggota.
B.
7 buah anggota.
C.
9
buah anggota.
D.
10
buah anggota.
E.
19
buah anggota.
Penjelasan :
Kata MISSISSIPPIMISSOURI
terdiri dari 19 huruf. Huruf M ada 2 buah , huruf I ada 6 buah. Huruf S ada 6
buah, huruf P ada 2 buah. Maka anggota yang sama dalam satu himpunan hanya
ditulis satu kali, (m i s p o u r). Sehingga kita dapat mengetahui
banyaknya anggota himpunan adalah 7 buah anggota. Jawaban yang paling tepat
adalah B.
3. Diketahui: Himpunan R adalah himpunan bilangan Rasional
positif, dan x Î R. Himpunan A adalah himpunan bilangan Asli,
dan y Î
A. Himpunan
C adalah himpunan bilangan Cacah,
dan z Î
C. Hubungan
ketiga himpunan tersebut digambarkan dalam diagram venn berikut ini:
Contoh bilangan yang
memenuhi nilai x, y, dan z adalah ....
- –5,
3, dan 1.
- 3, 2, dan 1.
,
3, dan 0.
,
0, dan 2.- 2,
1, dan 0.
Penjelasan :
Jawaban A dan D sudah pasti
salah, karena himpunan R adalah
himpunan bilangan Rasional positif, sehingga tidak mungkin ada bilangan
negatif. Jawaban C dan E salah, karena bilangan 0 hanya memenuhi x dan z. Maka jawaban
yang tepat adalah B.
4. Diketahui P = {k, l, a, t, e, n} dan Q = {k, e, t, a, n}. Manakah di antara
pernyataan-pernyataan berikut yang benar?
A. P Q dan n(P) = 5.
B. 
{k, a, t, e, n} dan n(Q) = 5.
C. n(P) = 6 dan n(
) = 5.
D.
n(Q)
= 5 dan 
{k, e, t, a, n}.
Penjelasan:
Anggota himpunan Q merupakan bilangan anggota himpunan P, yaitu
huruf k, e, t, a, n terdapat pada huruf k,
l, a, t, e, n. maka {k, e, t, a, n} merupakan
anggota persekutuan antara himpunan A dan himpunan Q yang
dapat disebut sebagai irisan himpunan P dan Q. yaitu
P 
Q
= {k, e, t, a, n}.
Anggota dari himpunan Q ada lima, sehingga dapat ditulis
dengan n(Q)=5. Maka jawaban yang paling tepat adalah D.
5. Dari 30 pengendara yang
terkena tilang, 15 di antaranya tidak membawa SIM, 17 di antaranya tidak
membawa STNK, 5 di antaranya terkena tilang, tetapi membawa SIM atau STNK. Maka
pengendara yang kena tilang tidak membawa SIM dan STNK adalah ...
A. 7 orang.
B. 8 orang.
C. 9 orang.
D. 23 orang.
E. 25 orang.
Penjelasan : tidak membawa SIM = 15 tidak membawa STNK =
17
tidak membawa STNK/SIM = 5 tidak membawa keduanya = x
= 30
- ((15-5)+(17-5)) = 30 - (10+12)
= 30
- 22
= 8
Maka jawaban yang paling
tepat adalah B.
6. Dari empat buah himpunan
yaitu A, B, C, dan D, diketahui bahwa: 
, 
, 
, 
, 
, 
, dan 
. Tentukanlah nilai dari 
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
E.
.
Penjelasan :
Diketahui : n (A) = n (B) =
n (C) = 10 dan n (D) = 5
n (A∩B) = 4 , n (A∩C) = 3 , n (B∩C) = 3 , n (B∩D) = 2
n (A∩B∩C) = 1
Ditanyakan : n (AUBUCUD) =
….?
Jadi, (AUBUCUD) = 4 + 2 + 1
+ 3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 3 = 24
maka jawaban yang paling
tepat adalah C.
7. Suatu kelas terdiri dari 50
siswa. 30 siswa senang matematika, 20 siswa senang biologi, 10 siswa tidak
senang matematika maupun bahasa Inggris. Banyaknya siswa yang senang keduanya
(matematika dan bahasa Inggris) adalah ....
A. 5 orang.
B. 10 orang.
C. 15 orang.
D. 20 orang.
E. Tidak ada yang menyukai
keduanya.
Penjelasan :
Diketahui 30 orang siswa
suka pelajaran matematika, 20 orang suka pelajaran biologi, 10 orang tidak suka
keduanya, dari 50 orang siswa. Ditanyakan, Siapa yang suka keduanya?
Penghitungannya, 50 - (30+20-10)
= 50 – 40 = 10. Maka jawaban yang paling tepat adalah B.
8. Misalkan terdapat beberapa brat, beberapa bret, dan beberapa brot.
Misalkan pula semua brat adalah bret, dan beberapa brot adalah brat.
Berdasarkan informasi tersebut, yang mana saja dari pernyataan X, Y,
Z yang pasti benar?
X : Semua brat
adalah brot.
Y : Beberapa brot
adalah bret.
Z : Beberapa brat
bukan brot.
A.
X saja.
B.
Y saja.
C.
Z saja.
D.
X dan Y saja.
E.
Y dan Z saja.
Penjelasan :
Karena pernyataan yang pasti
benar adalah beberapa brot adalah bret. Maka jawaban yang paling tepat adalah B.
9. Sebanyak x orang pengurus sebuah organisasi akan
dibagi ke dalam empat komisi dengan mengikuti dua ketentuan berikut: (i) setiap
anggota tergabung ke dalam tepat dua komisi, dan (ii) setiap dua komisi memiliki
tepat satu anggota bersama. Berapakah x?
A. 4 orang.
B. 6 orang.
C. 8 orang.
D. 10 orang.
E. 12 orang.
Penjelasan :
Setiap anggota tergabung
kedalam dua komisi, dan setiap dua komisi memiliki satu anggota bersama.
Sehingga jumlah seluruh anggota adalah 4 orang. Maka jawaban yang paling tepat
adalah A.
10. Jika 
, 
, dan KC
adalah komplemen K, maka 
sama dengan
....
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
Penjelasan :
Misal K = {1, 2, 3, 4, 5} L {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7} M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
KC = {6, 7, 8, 9} LC = {8, 9}
Maka jawaban yang paling
tepat adalah E.
TES FORMATIF : FUNGSI
1. Manakah dari tabel berikut
yang bukan suatu fungsi jika domainnya adalah himpunan yang beranggotakan x?
|
x
|
1 2
3 4
|
|
x
|
5 5 5
|
|
x
|
25 0
80
|
|
y
|
5 5
5 5
|
|
y
|
1 2 3
|
|
y
|
6 7 8
|
(A) (B) (C)
|
x
|
5 –9
–6 3
|
|
x
|
9 8
7 6 5
|
|
y
|
5 –9
–6 3
|
|
y
|
1 2
3 2 1
|
(D) (E)
Penjelasan :
Semua options/ pilihan di atas merupakan fungsi
kecuali options/ pilihan B, karena setiap anggota domainnya tidak mempunyai
tepat satu pasang anggota kodomainnya(lebih dari satu). Karena suatu fungsi juga
adalah himpunan pasangan terurut yang bersifat tak ada dua pasangan yang
mempunyai unsur pertama yang sama.
2. Tentukan nilai 
dari suatu fungsi 
!
A. 
B.0 C. 2
D. Tidak terdefinisi E. Tidak
tentu
Penjelasan :
= 22 – (7.2) + 10 4 – 14 + 10
2 – 3 = -1
52 – (7.5) + 10 25
– 35 + 10
5 – 3
2
= 0/-1
= - 1/ 2
0/2
maka jawaban
yang paling tepat adalah A.
3. Tentukan garis
mana yang sejajar dengan 
dari garis yang
melalui dua titik berikut ini?
A.
(3,4)
dan (–5,0)
B. (1,2) dan (3,5)
C. (0,3) dan (0,5)
D. (0,–2) dan (4,–5)
E. (0,3) dan (–2,5)
Penjelasan :
y = ½ x – 2 , à m = ½ , 2 garis yang
sejajar gradiennya sama yaitu ½
maka, A (3,4) & (-5,0) à m = y2 – y1 = 0 – 4 = -4 =
-1
x2 – x1 = -5 – 3 = -8 = 2
4. Mana dari grafik berikut
yang bukan menyatakan suatu fungsi?
A.
y
B. y
x
x
C y D. y
x
x
E. y
x
Penjelasan :
Grafik dalam option/ pilihan
C bukan merupakan grafik suatu fungsi karena garis vertikal dalam grafiknya
memotong grafik berada di dua titik atau lebih. maka jawaban yang paling tepat
adalah C.
5. Laju pertumbuhan
penduduk suatu kota ditunjukkan dengan grafik berikut ini. Sumbu-x menyatakan pertambahan waktu (dalam
tahun), sedangkan sumbu-y menyatakan
jumlah penduduk (dalam ribu). Berapa kira-kira jumlah penduduk setelah 7 tahun?
Jika ternyata pada tahun ke-10 terjadi bencana besar yang menewaskan 70%
penduduk pada tahun itu, berapa jumlah penduduk pada tahun ke-15 (dengan asumsi
pertambahan penduduknya tetap sama)?
- 3500
dan 9000
- 4000
dan 5950
- 4000
dan 9000
- 5000
dan 6500
- 5000 dan
5950
Penjelasan :
Rumusnya,
y – y1 =
x – x1
y2
- y1 = x2 – x1
Jadi,
y – 4 = x – 5
3
– 4 = 3 – 5
-2
(y - 4) = -1 (x - 5)
-2y
+ 8 = -x + 5
-2y
= -x – 3
Y
= x/2 + 3/2 atau 2y = x + 3
Jumlah
penduduk 7 tahun
2y
= x + 3
2y
= 7 + 3
2y
= 10
Y
= 5 à 5000 jiwa
Jumlah
penduduk tahun ke 10
2y
= x + 3
2y
= 10 + 3
2y
= 13
Y
= 6,5 à 6500 jiwa
Setelah
bencana alam : 70 % x 6500 = 4650 jiwa
Sisa
penduduk : 6500 – 4650 = 1950 jiwa
Jumlah
penduduk tahun ke 15 :
2y
= x + 3
2y
= 6 + 3
2y
= 8
Y
= 4 à 4 000 jiwa (penduduk 5
tahun)
Penduduk
15 tahun : 4000 + 1950 = 5950
Maka
jawaban yang paling tepat adalah E.
6. Matematikawan yang sangat
terkenal, DeMorgan, menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Pada tahun
terakhir di masa hidupnya beliau berkata, “Dulu aku berusia x tahun pada tahun 
.” Pada tahun berapakah DeMorgan dilahirkan?
- 1853
- 1851
- 1849
- 1806
- 1800
Penjelasan :
Dulu aku berusia x tahun
pada tahun x²
X = 43 , x² = 43² = 1849
Dia lahir pada tahun x²-x =
1849 – 43 = 1806.
Maka jawaban yang paling
tepat adalah D.
7. Jika 
, maka penulisan x
sebagai fungsi dari y adalah ....
Penjelasan
:
Y
= 1 – x = x ….. ?
3 + 2x
Y
= 1 – x
3 + 2x
3y
+ 2xy = 1 – x
3y
– 1 = -x – 2xy
X
+ 2xy = 1 – 3y
X
(1 + 2y) = 1 – 3y
X
= 1 – 3y
X
= 1 – 3y
1 + 2y
Maka jwaban yang paling
tepat adalah E.
