TUGAS MATEMATIKA KELAS 1PA03, 06 dan 07

Posted by Unknown

Sri Wulan Windu Ratih

Tugas ke-tiga dari mata kuliah matematika & IAD kali ini akan memfokuskan kajian pada materi pemecahan masalah dalam himpunan dan fungsi. yang disusun menjadi dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar 1: Himpunan, dan Kegiatan Belajar 2: Fungsi. Meskipun antara kegiatan belajar yang satu bukan merupakan prasyarat untuk mempelajari kegiatan belajar lainnya, akan tetapi satu sama lain memiliki keterkaitan yang erat.

HIMPUNAN

Himpunan dalam pengertian matematika sering juga disebut kumpulan, atau kelompok. Himpunan dapat dibayangkan sebagai suatu kumpulan benda-benda baik yang “jelas” maupun yang “tidak jelas”. Kumpulan benda-benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan benda-benda yang tidak jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan jelas. Penulisan himpunan ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan, antara lain:

1. dengan mendaftar anggota himpunan;

2. dengan menjelaskan sifat anggota himpunan;

3. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Misalkan akan dinyatakan himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.

1. Dengan mendaftar anggota himpunan, misalnya B = {Januari, Juni, Juli}

2. Dengan menjelaskan sifat anggota himpunan, misalnya Himpunan nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.

3. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, misalnya B = {

nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}. Kalimat ini dapat dibaca, B adalah himpunan dari semua

dan

adalah nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.

Penggunaan

pada notasi penulisan himpunan dapat diganti dengan huruf kecil lainnya. Misalnya:

A = { nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J}

atau,

A = { nama bulan dalam satu tahun yang diawali dengan huruf J.

Himpunan yang tidak mempunyai anggota tersebut dinamakan sebagai himpunan kosong.

Ingat, suatu himpunan kosong yang ditulis P = { }, berarti himpunan tersebut tidak memiliki anggota, atau n(P) = 0. Akan tetapi suatu himpunan dengan anggotanya nol, misal Q = {0}, bukan merupakan himpunan kosong, karena jumlah anggotanya adalah 1, ditulis n(Q) = 1.

Himpunan Semesta

Contoh :

H = {bebek, ayam, kucing, sapi, macan}

Himpunan H terdiri dari nama-nama hewan. Oleh karena itu, himpunan semesta ini dapat dinyatakan sebagai himpunan semua hewan yang ada di dunia.

Contoh :

K = {5, 7, 11}

Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua anggota K di antaranya adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, atau {bilangan prima}. Oleh karena itu, himpunan semesta dari himpunan B adalah {bilangan ganjil}, {bilangan asli}, {bilangan prima}.

Himpunan Bagian

Diketahui dua himpunan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d, e, f, g}. Dari kedua himpunan tersebut dapat dilihat bahwa semua anggota A merupakan anggota B juga. Ini berarti bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dan dapat ditulis A

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A menjadi anggota B dan dapat ditulis A

B. Atau dapat juga dikatakan bahwa himpunan B memuat A yang dapat ditulis B

FUNGSI

Fungsi merupakan konsep matematika yang sangat penting karena aplikasinya yang begitu luas, banyak digunakan baik dalam cabang-cabang matematika, maupun di luar bidang matematika. Banyak konsep matematika yang ditentukan atau didefinisikan dengan bantuan konsep fungsi.

Fungsi memiliki pengertian sebagai aturan untuk menetapkan kaitan (pemasangan atau korespondensi) antara anggota himpunan A dan B, sehingga setiap unsur A berpasangan dengan tepat satu unsur B. Dengan cara pandang ini, fungsi dapat kita tunjukkan dengan menggunakan “input–proses–output” atau dengan istilah yang sama, “masukan–aturan–keluaran.” Himpunan pertama kita sebut himpunan input atau domain (daerah asal) dan himpunan kedua yang menjadi tempat output disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan output itu sendiri disebut himpunan bayangan (range, daerah hasil).

Fungsi sebagai suatu aturan yang memetakan/memasangkan suatu anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Selanjutnya, kita tentukan fungsi sebagai pasangan terurut dengan sifat tertentu.

Mari kita mulai dengan korespondensi/hubungan/kaitan antara anggota dua himpunan. Perhatikan Gambar 4.2.1(a), Gambar 4.2.1(b), dan Gambar 4.2.1(c). Ilustrasi tersebut menunjukkan kaitan antara anggota himpunan A dan B.

A B A B A B

(a) (b) (c)

Gambar 4.2.1

Sering kita jumpai suatu keadaan dalam kehidupan kita sehari-hari, korespondensi itu dapat berupa:

· banyaknya barang yang terjual dan keuntungan yang diperoleh,

· prestasi siswa dengan motivasi belajarnya,

· besar uang yang ditabung dan bunga yang didapat,

· penduduk dan nomor kartu penduduk, dan lain-lain.

Tes Formatif : HIMPUNAN

Pilihlah A, B, C, D, atau E yang menurut pendapat Anda paling tepat!

1. Manakah di antara kelompok-kelompok di bawah ini yang merupakan himpunan?

A. Himpunan bilangan prima antara 40 dan 60, yakni P = {41, 43, 47, 51, 53, 59}.

B. Himpunan semua wanita cantik berambut panjang.

C. Himpunan lukisan indah.

D. Himpunan semua cacing berkaki seribu.

E. Himpunan bilangan prima kurang dari 10, yaitu A = {1, 2, 3, 5, 7}

Penjelasan:

Dalam konteksnya himpunan akan selalu terdapat kurung kurawal sesudah tanda “=” (jawaban B, C, dan D sudah pasti salah). Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi dengan angka 1 dan bilangan itu sendiri. Jawaban A kurang tepat, karena di akhiri dengan tanda titik. Juga ada bilangan prima yang tidak dicantumkan yaitu angka 57, seharusnya bilangan prima antara 40 dan 60 yakni P = {41, 43, 47, 51, 53, 57, 59} Maka jawaban yang paling tepat adalah E.

2. Sungai terpanjang di dunia bernama Mississippi Missouri. Jika huruf-huruf M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I,M,I,S,S,O,U,R,I yang membentuk nama sungai tersebut kita jadikan suatu himpunan, maka banyaknya anggota himpunan tersebut adalah...

A. 2 buah anggota.

B. 7 buah anggota.

C. 9 buah anggota.

D. 10 buah anggota.

E. 19 buah anggota.

Penjelasan :

Kata MISSISSIPPIMISSOURI terdiri dari 19 huruf. Huruf M ada 2 buah , huruf I ada 6 buah. Huruf S ada 6 buah, huruf P ada 2 buah. Maka anggota yang sama dalam satu himpunan hanya ditulis satu kali, (m i s p o u r). Sehingga kita dapat mengetahui banyaknya anggota himpunan adalah 7 buah anggota. Jawaban yang paling tepat adalah B.

3. Diketahui: Himpunan R adalah himpunan bilangan Rasional positif, dan x Î R. Himpunan A adalah himpunan bilangan Asli, dan y Î A. Himpunan C adalah himpunan bilangan Cacah, dan z Î C. Hubungan ketiga himpunan tersebut digambarkan dalam diagram venn berikut ini:

. x

Contoh bilangan yang memenuhi nilai x, y, dan z adalah ....

–5, 3, dan 1.
3, 2, dan 1.
, 3, dan 0.
, 0, dan 2.
2, 1, dan 0.

Penjelasan :

Jawaban A dan D sudah pasti salah, karena himpunan R adalah himpunan bilangan Rasional positif, sehingga tidak mungkin ada bilangan negatif. Jawaban C dan E salah, karena bilangan 0 hanya memenuhi x dan z. Maka jawaban yang tepat adalah B.

4. Diketahui P = {k, l, a, t, e, n} dan Q = {k, e, t, a, n}. Manakah di antara pernyataan-pernyataan berikut yang benar?

A. P

Q dan n(P) = 5.

{k, a, t, e, n} dan n(Q) = 5.

C. n(P) = 6 dan n(

) = 5.

D. n(Q) = 5 dan

{k, e, t, a, n}.

dan k

Penjelasan:

Anggota himpunan Q merupakan bilangan anggota himpunan P, yaitu huruf k, e, t, a, n terdapat pada huruf k, l, a, t, e, n. maka {k, e, t, a, n} merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan himpunan Q yang dapat disebut sebagai irisan himpunan P dan Q. yaitu P $\cap$ Q = {k, e, t, a, n}. Anggota dari himpunan Q ada lima, sehingga dapat ditulis dengan n(Q)=5. Maka jawaban yang paling tepat adalah D.

5. Dari 30 pengendara yang terkena tilang, 15 di antaranya tidak membawa SIM, 17 di antaranya tidak membawa STNK, 5 di antaranya terkena tilang, tetapi membawa SIM atau STNK. Maka pengendara yang kena tilang tidak membawa SIM dan STNK adalah ...

A. 7 orang.

B. 8 orang.

C. 9 orang.

D. 23 orang.

E. 25 orang.

Penjelasan : tidak membawa SIM = 15 tidak membawa STNK = 17

tidak membawa STNK/SIM = 5 tidak membawa keduanya = x

= 30 - ((15-5)+(17-5)) = 30 - (10+12)

= 30 - 22

= 8

Maka jawaban yang paling tepat adalah B.

6. Dari empat buah himpunan yaitu A, B, C, dan D, diketahui bahwa:

, dan

. Tentukanlah nilai dari

C. .

Penjelasan :

Diketahui : n (A) = n (B) = n (C) = 10 dan n (D) = 5

n (A∩B) = 4 , n (A∩C) = 3 , n (B∩C) = 3 , n (B∩D) = 2

n (A∩B∩C) = 1

Ditanyakan : n (AUBUCUD) = ….?

Jadi, (AUBUCUD) = 4 + 2 + 1 + 3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 3 = 24

maka jawaban yang paling tepat adalah C.

7. Suatu kelas terdiri dari 50 siswa. 30 siswa senang matematika, 20 siswa senang biologi, 10 siswa tidak senang matematika maupun bahasa Inggris. Banyaknya siswa yang senang keduanya (matematika dan bahasa Inggris) adalah ....

A. 5 orang.

B. 10 orang.

C. 15 orang.

D. 20 orang.

E. Tidak ada yang menyukai keduanya.

Penjelasan :

Diketahui 30 orang siswa suka pelajaran matematika, 20 orang suka pelajaran biologi, 10 orang tidak suka keduanya, dari 50 orang siswa. Ditanyakan, Siapa yang suka keduanya?

Penghitungannya, 50 - (30+20-10) = 50 – 40 = 10. Maka jawaban yang paling tepat adalah B.

8. Misalkan terdapat beberapa brat, beberapa bret, dan beberapa brot. Misalkan pula semua brat adalah bret, dan beberapa brot adalah brat. Berdasarkan informasi tersebut, yang mana saja dari pernyataan X, Y, Z yang pasti benar?

X : Semua brat adalah brot.

Y : Beberapa brot adalah bret.

Z : Beberapa brat bukan brot.

A. X saja.

B. Y saja.

C. Z saja.

D. X dan Y saja.

E. Y dan Z saja.

Penjelasan :

Karena pernyataan yang pasti benar adalah beberapa brot adalah bret. Maka jawaban yang paling tepat adalah B.

9. Sebanyak x orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dalam empat komisi dengan mengikuti dua ketentuan berikut: (i) setiap anggota tergabung ke dalam tepat dua komisi, dan (ii) setiap dua komisi memiliki tepat satu anggota bersama. Berapakah x?

A. 4 orang.

B. 6 orang.

C. 8 orang.

D. 10 orang.

E. 12 orang.

Penjelasan :

Setiap anggota tergabung kedalam dua komisi, dan setiap dua komisi memiliki satu anggota bersama. Sehingga jumlah seluruh anggota adalah 4 orang. Maka jawaban yang paling tepat adalah A.

10. Jika

, dan K^C adalah komplemen K, maka

sama dengan ....

Penjelasan :

Misal K = {1, 2, 3, 4, 5} L {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

KC = {6, 7, 8, 9} LC = {8, 9}

Maka jawaban yang paling tepat adalah E.

TES FORMATIF : FUNGSI

1. Manakah dari tabel berikut yang bukan suatu fungsi jika domainnya adalah himpunan yang beranggotakan x?

x	1 2 3 4		x	5 5 5		x	25 0 80
y	5 5 5 5		y	1 2 3		y	6 7 8

(A) (B) (C)

x	5 –9 –6 3		x	9 8 7 6 5
y	5 –9 –6 3		y	1 2 3 2 1

(D) (E)

Penjelasan :

Semua options/ pilihan di atas merupakan fungsi kecuali options/ pilihan B, karena setiap anggota domainnya tidak mempunyai tepat satu pasang anggota kodomainnya(lebih dari satu). Karena suatu fungsi juga adalah himpunan pasangan terurut yang bersifat tak ada dua pasangan yang mempunyai unsur pertama yang sama.

2. Tentukan nilai

dari suatu fungsi

A. B.0 C. 2 D. Tidak terdefinisi E. Tidak tentu

Penjelasan :

= 22 – (7.2) + 10 4 – 14 + 10

2 – 3 = -1

5² – (7.5) + 10 25 – 35 + 10

5 – 3 2

= 0/-1 = - 1/ 2

0/2

maka jawaban yang paling tepat adalah A.

3. Tentukan garis mana yang sejajar dengan

dari garis yang melalui dua titik berikut ini?

A. (3,4) dan (–5,0)

B. (1,2) dan (3,5)

C. (0,3) dan (0,5)

D. (0,–2) dan (4,–5)

E. (0,3) dan (–2,5)

Penjelasan :

y = ½ x – 2 , à m = ½ , 2 garis yang sejajar gradiennya sama yaitu ½

maka, A (3,4) & (-5,0) à m = y2 – y1 = 0 – 4 = -4 = -1

x2 – x1 = -5 – 3 = -8 = 2

4. Mana dari grafik berikut yang bukan menyatakan suatu fungsi?

A. y B. y

x x

C y D. y

E. y

Penjelasan :

Grafik dalam option/ pilihan C bukan merupakan grafik suatu fungsi karena garis vertikal dalam grafiknya memotong grafik berada di dua titik atau lebih. maka jawaban yang paling tepat adalah C.

5. Laju pertumbuhan penduduk suatu kota ditunjukkan dengan grafik berikut ini. Sumbu-x menyatakan pertambahan waktu (dalam tahun), sedangkan sumbu-y menyatakan jumlah penduduk (dalam ribu). Berapa kira-kira jumlah penduduk setelah 7 tahun? Jika ternyata pada tahun ke-10 terjadi bencana besar yang menewaskan 70% penduduk pada tahun itu, berapa jumlah penduduk pada tahun ke-15 (dengan asumsi pertambahan penduduknya tetap sama)?

3500 dan 9000
4000 dan 5950
4000 dan 9000
5000 dan 6500
5000 dan 5950

Penjelasan :

Rumusnya,

y – y1 = x – x1

y2 - y1 = x2 – x1

Jadi,

y – 4 = x – 5

3 – 4 = 3 – 5

-2 (y - 4) = -1 (x - 5)

-2y + 8 = -x + 5

-2y = -x – 3

Y = x/2 + 3/2 atau 2y = x + 3

Jumlah penduduk 7 tahun

2y = x + 3

2y = 7 + 3

2y = 10

Y = 5 à 5000 jiwa

Jumlah penduduk tahun ke 10

2y = x + 3

2y = 10 + 3

2y = 13

Y = 6,5 à 6500 jiwa

Setelah bencana alam : 70 % x 6500 = 4650 jiwa

Sisa penduduk : 6500 – 4650 = 1950 jiwa

Jumlah penduduk tahun ke 15 :

2y = x + 3

2y = 6 + 3

2y = 8

Y = 4 à 4 000 jiwa (penduduk 5 tahun)

Penduduk 15 tahun : 4000 + 1950 = 5950

Maka jawaban yang paling tepat adalah E.

6. Matematikawan yang sangat terkenal, DeMorgan, menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Pada tahun terakhir di masa hidupnya beliau berkata, “Dulu aku berusia x tahun pada tahun

.” Pada tahun berapakah DeMorgan dilahirkan?